Pseudo Random Generator
真的随机性是要求很强的东西，上一章是对安全性的适当弱化，而这一章就是对随机性的适当弱化，使得我们可以得到一个“不那么随机但是可以当成随机数用的随机数”
也就是伪随机性
定义
这里的随机性指的是一个比特串的分布的随机性，通常用 \(\text{Dist}\) 表示
为了使用，这个分布通常是计算出来的，即有一个多项式确定性算法 \(G\)，可以通过一个真随机种子 \(s\) 得到一个伪随机串 \(G(s)\)
通常我们要求 \(G(s)\) 的输出要比输入长（否则一个平凡的伪随机函数可以取 \(G(s)=s\)，这没有意义；），因为在前面我们知道OTP的一大缺陷就在于双方需要共享很长（与密文等长）的秘钥。假若我们可以通过 \(G(\cdot)\) 和一个较短的真随机数 \(s\) 来获得一个较长的（和密文等长）的比特串，那么就可以部分解决OTP的问题了
我们称一个 \(G(\cdot)\) 是伪随机函数，当且仅当对于任意PPT的算法 \(D\)，都有 \(|Pr\left[D(G(s))=1\right]-Pr[D(r)=1]|\leqslant\text{negl}(n)\)，这里 \(r\) 是一个真随机串，其中 \(D\) 输出 \(1\) 表示算法认为这是一个伪随机函数。
这个式子的含义是：如果任何高效的算法都无法以一个大于 \(\text{negl}\) 的概率区分出我们的\(G(\cdot)\)和真随机的比特串，那么我们就可以认为这个生成器有比较好的随机性——即伪随机性
注意到定义中我们没有对伪随机生成函数做出任何行为上的定义，即这样的函数其实是理想的模型，定义并不是构造的。通常我们可以认为目前已有的一些随机数生成器具有PRG的性质，即"某样东西是PRG"属于安全性证明前提中的假设部分
实现
具体的典型PRG实现一般通过一个有限状态自动机来完成，即我们的每一步构造其实都是确定性的，但是每一步都依赖于随机种子 \(s\)
一类比较经典的PRG其实可以生成任意长的比特串，然后再根据需要连续截取来获得不同的随机串
应用
如果把OTP的真随机变成这里的PRG，那么就可以得到一个Computationally Secure的加密策略。注意到与原本需要共享与明文等长的key不同，此处只需要双方共享PRG的key，而根据PRG的定义这个key是要比明文的长度短的。这样就通过牺牲一些安全性（多了一个\(\text{negl}\)）解决了key太长的问题
Multiple Encryptions
前面的EAV-secure都是基于一个假设的：每次通讯只会传输一条密文。这个假设显然是不够强的——我们肯定会有多条消息传输的需求，在这种情况下，之前的某些安全加密策略就变得不安全了
同样先定义一个游戏 \(Priv^\text{mult}_{\mathcal A,\Pi}(n)\) 如下：
首先生成一个key
\(\mathcal A\) 给出两条明文向量 \(\vec{m_0},\vec{m_1}\)
Challenger随机一个比特 \(b\)，把 \(\vec{c_b}\) 发回给 \(\mathcal A\)
\(\mathcal A\) 来猜 \(b\)
如果 \(Pr[Priv^\text{mult}_{\mathcal A,\Pi}(n)=1]\leqslant\dfrac1 2+\text{negl}(n)\)，那么就称策略 \(\Pi\) 是mult-secure的（这个词是我自己发明的....囧）
一个很重要的观察是，如果加密算法是确定性的，那么这个策略一定不是mult-secure的，攻击构造如下：
\(\mathcal A\) 只需要给出 \(\vec{m_0}=(M_1,M_1)\)，\(\vec{m_1}=(M_1,M_2)\)，其中 \(M_1\neq M_2\)
对于接收到的 \(\vec{c_b}=(C_1,C_2)\)，若 \(C_1=C_2\) 就猜 \(b=0\)，否则猜 \(b=1\)
用这个 \(\mathcal A\) 去玩上面的游戏正确率是\(1\)，因此这个策略不是mult-secure的。我们还可以发现前面讲过的弱化OTP也是确定性的，因此做不到mult-secure
这提醒我们要给加密算法引入随机性，引入随机性的方法就是PRF
Pseudo random Functions
首先要引入functionality的概念，即一个概率的函数。对于函数 \(\hat F\)，若对于某输入 \(x\) 而言，其结果 \(\hat F(x)\) 满足某概率分布，那么我们就称其为一个 functionality。可以发现传统的definite function也是一类特殊的functionality
所谓PRF类似PRG，就是期望通过一类确定性的算法来模拟出随机函数的行为。因此概率的引入就全部在于密钥 \(k\) 了
也就是说我们有一个函数的集合(A family of functions) \(Func\)，我们可以通过一个密钥 \(k\) 来实例化出一个具体的函数 \(F_k\)，这是一个确定性的函数。
由于 \(k\) 是完全随机的，所以在Adversary 眼中 \(F_k\) 的行为也应该是完全随机的。但是因为我们的生成算法是多项式的，因此 \(|Func|\) 也是多项式的，即 \(Func\) 只能做到非常有限的采样，因此 \(F_k\) 又不可能是完全随机的（这一段要体会一下）
我们称一个函数集（族）是伪随机函数当且仅当对于任意PPT的算法 \(D\)，都有 \(\left|Pr\left[D^{F_k(\cdot)}(1^n)=1\right]-Pr\left[D^{f(\cdot)}(1^n)=1\right]\right|\leqslant\text{negl}(n)\) 成立。其中 \(D\) 输出 \(1\) 表示算法猜这是一个伪随机函数
这个式子的随机性引入来自两方面：1. \(k\) 的选取 2. \(f\) 是一个真随机函数
这里之所以把 \(F\) 写在右上角是习惯问题，意思是 \(D\) 不需要自己计算函数值，而是通过访问我们人为提供的oracle（谕示机，这名字好屌）来瞬间得到答案
这么做是因为如果我们把某个函数作为参数传入，则可能会需要处理指数级的信息，这与多项式时间复杂度是矛盾的。
实现
对PRG进行定长采样就可以得到一个PRF了
应用
可以构造如下加密策略：
\(\text{Enc}(m)\) 会随机生成一个 \(r\)，然后把 \(\left<r,m\oplus F_k(r)\right>\) 作为密文输出
\(\text{Dec}(\left<r,c\right>)\) 则通过计算 \(c\oplus F_k(r)=m\oplus F_k(r)\oplus F_k(r)=m\) 就能得到明文
这个策略的安全性的保障在于，对于Adversary而言 \(k\) 是未知的，而 \(F\) 是PRF。要证明也很简单，只需要把 PRF换成真随机函数，这样就可以确保 \(\mathcal A\) 只有 \(\dfrac12\) 的成功率(why?)，而一个能有效攻击PRF策略的算法，必然也能用于有效区分PRF和真随机函数（证明这一点需要构造一下），这与PRF的定义矛盾，因此是不存在这样的策略的。
Weakly Pseudo random Function
密码学的一个套路就是先引入一个问题，然后通过实践或者需求来强化/弱化某些条件，再猜想/证明这些情况下的构造仍然具有一些良好的性质
所谓Weakly Pseudo random的意思就是，对于任意的PPT算法 \(D\)，都有 \(\left|Pr\left[D^{F_k^\$(\cdot)}(1^n)=1\right]-Pr\left[D^{f^\$(\cdot)}(1^n)=1\right]\right|\leqslant\text{negl}(n)\) 对任意的 \(\text{negl}(n)\) 成立
和PRF的区别在于，这里我们给 \(D\) 的是一个概率oracle，即每次 \(D\) 向oracle查询的时候，会由oracle生成一个随机数 \(r\)，然后把 \(\left<r,F(r)\right>\) 给 \(D\)
意思是虽然 \(D\) 有能力知道一些 \(F\) 的取值，但是具体取到哪些 \(x\) 并不由 \(D\) 决定
有一个定理：一个PRF一定是WPRF，但反之不一定成立。证明比较简单，因为是课后习题所以不放具体证明了
一个经典的构造如下：如果我们有一个PRF \(F\)，那么我们就可以构造一个WPRF \(F'(x)=\left\{\begin{aligned}F(y)&,&x=y||0\\F(y)&,&x=y||1\end{aligned}\right.\)
根据这个例子可以发现，构造同样长度的PRF要比WPRF简单的多，因为我们只需要一个更短的PRF就可以弱化得到一个更长的WPRF了