觉得要好好学一学这个东西了
代数系统
定义
称 \(\left<G,\circ\right>\) 为代数系统, 当且仅当 \(G\) 为非空集合, \(\circ\colon G\times G\mapsto G\) 为 \(G\) 上封闭二元运算.
等价关系 划分
给出 \(G\) 上的等价关系 \(R\subseteq G\times G\), 可得 \(G\) 的划分 \(P=\Set{G_i}\). 反之给出划分亦可得由划分定义的等价关系.
记 \(P=G/R\) 为 \(G\) 关于 \(R\) 的商集, 映射 \(\pi\colon g\mapsto [g]\) 称为自然映射. 其中 \([g]=\Set{x\mid xRg}\)
可构造新代数系统 \(\left<G/R, \circ'\right>\). 其中 \(\circ'\) 定义为 \([a]\circ' [b]=[a\circ b]\).
为了保证 \(\circ'\) 是良定义的 (\(\forall c\in [a], c\neq a\) 都有 \([c\circ b]= [a\circ b]\)), 应满足 \(\forall a_1,a_2,b_1,b_2\), \(a_1Rb_1\wedge a_2 R b_2\Rightarrow (a_1\circ a_2)R(b_1\circ b_2)\). 这个特殊的关系又叫同余关系.
半群
\(\left<G,\circ\right>\) 是半群当且仅当 \(G\) 是代数系统, 且 \(\circ\) 有结合律 \[ \forall a,b,c\in G, (ab)c=a(bc) \]
幺半群
半群 \(\left<G,\circ\right>\) 是幺半群当且仅当存在幺元 \[ \exists e\in G \text{ s.t. } \forall a\in G, ae=ea=a \]
左右幺元
左幺元定义为 \[ \exists e_L\in G \text{ s.t. } \forall a\in G, e_La=a \] 若左右幺元皆存在, 那么它们必然相等: \[ e_L = e_Le_R = e_R \]
幺元
\(e\in G\) 为幺元当且仅当 \(e\) 既是左幺元, 又是右幺元.
若幺元存在, 那么其必然唯一: \[ e_1 = e_1 e_2= e_2 \] 直接推论: 若幺半群有多余一个左幺元, 那么其必然没有右幺元 (否则假设存在, 这个右幺元必然与某个左幺元相等. 又因为幺元唯一, 与有至少 \(2\) 个左幺元矛盾)
群
称幺半群 \(\left<G,\circ\right>\) 为群当且仅当 \(\forall a\in G, a^{-1}\in G\)
左右逆元
定义元素 \(a\in G\) 的左逆元 \(a_1\) 为 \[ \exists a_1\in G \text{ s.t. } a_1a=e \] 若左右逆元都存在, 那么它们相等且为 \(a\) 的 逆元 \[ a_2 = (a_1 a) a_2 = a_1 a a_2 = a_1(a a_2) = a_1 \]
逆元
\(a\in G\) 的逆元定义为 \[ \exists a^{-1} \text{ s.t. } a^{-1}a=aa^{-1}=e \] 类似地, 若 \(G\) 中 \(a\) 有至少 \(2\) 个左逆, 那么其必然没有右逆.
消去律
右消去律定义为 \[ \forall a,b,c\in G, \; ac=bc\Rightarrow a=b \] 由逆元的存在性可知群满足消去律
群方程
如下形式的方程称为群方程, \(x\) 是未知元 \[ \begin{aligned} ax=b \\ xc=d \end{aligned} \] 由逆元存在性和唯一性可知群方程解存在且唯一.
群的等价定义
单侧定义
称半群 \(G\) 为群, 当且仅当
- \(\exists e_L\in G\) 为左幺元
- \(\forall a\in G, \exists a^{-1}\text{ s.t. } a^{-1}a=e_L\). 即任意元素存在左幺元
称为群的单侧定义, 等价性的证明需要一些技巧. 任取 \(a\in G\), \(a'\) 是 \(a\) 的左逆元, \(a''\) 是 \(a'\) 的左逆元 \[ e_L=a''a'=a''e_La'=a''(a'a)a'=(a''a')aa'=e_Laa'=aa'=e_L \] 说明 \(a'\) 亦是 \(a\) 的右逆元. 这个证明的关键在于添一个幺元, 且左幺元不在最右侧时效果等同于幺元. \[ a=ae_L=a(a'a)=(aa')a=e_La \] 说明 \(e_L\) 亦是右幺元.
证明的另一个方向是显然的, 因此单侧定义与群的一般定义等价.
群方程有解定义
半群 \(G\) 中任意群方程有解, 则 \(G\) 为群.
任取 \(a\in G\), 记方程 \(ax=a\) 的一个解为 \(e\), 下面证明 \(e\) 为 \(G\) 中一个右幺元.
任取 \(b\in G\), 有 \(aeb=(ae)b=ab\)
此时构造群方程 \(xa=b\), 记一个解为 \(f\), 那么有 \(fa=b\)
因此 \(be=fae=f(ae)=fa=b\), 由 \(b\) 的任意性即得 \(e\) 为右幺元.
任取 \(a\in G\), 方程 \(ax=e\) 的解即为 \(a\) 的右逆元. 由群的单侧定义可知 \(G\) 为群.
消去律定义
有限半群 \(G\) 中满足左右消去律, 则 \(G\) 为群
证明1
任取 \(a\in G\), 定义 \(Ga=\Set{xa\mid x\in G}\), 由右消去律可知 \(|G|=|Ga|\), 即 \(G\) 与 \(Ga\) 存在双射.
故存在 \(e\in G\) 使得 \(ea=a\). 下证 \(e\) 是左幺元.
任取 \(c\in G\), 由左消去律可知 \(|aG|=|G|\), 即存在 \(d\in G\) 使得 \(ad=c\), 因此 \(ec=ead=ad=c\). 由 \(c\) 的任意性, \(e\) 是左幺元.
再证明左逆元的存在性.
类似存在 \(a'\in G\) 使得 \(a'a=e\). 由 \(a\) 的任意性可知 \(G\) 存在左逆元. 由群的单侧定义可知 \(G\) 为群.
证明2
\(G\) 有限, 因此可写成 \(G=\Set{a_1,a_2\ldots a_n}\), 群方程有 \(2n^2\) 个, 形如 \(a_ix=a_j\), \(xa_i=a_j\)
由右消去律, \(|G|=|Ga_i|\), 因此必然存在唯一的 \(a_x\) 使得 \(a_x a_i=a_j\), 此时 \(a_x\) 即为方程 \(xa_i=a_j\) 的解.
同理可得方程 \(a_i x=a_j\) 存在唯一解
故 \(G\) 中任意群方程存在解, 由群方程有解定义可知 \(G\) 为群.
阶
元素 \(a\in G\) 的阶定义为最小的自然数 \(n\in\mathbb N\) 使得 \(a^n=e\), 记为 \(o(a)\) 或 \(\left\lvert a\right\rvert\)
\(\left\lvert a\right\rvert=1\) 当且仅当 \(a=e\), 并且有 \(\left\lvert a\right\rvert=\left\lvert a^{-1}\right\rvert\)
定理1
\(a^k=e\) 当且仅当 \(o(a)\mid k\).
由反证法, 设根据带余除法得 \(k=q\cdot o(a)+r\), \(r\neq 0, r<o(a)\), 那么有 \[ a^k=a^{q\cdot o(a)+r}=a^r=e \] 这与 \(o(a)\) 的定义矛盾, 故 \(r=0\).
定理2
记 \((a,b)\) 为 \(a, b\) 最大公约数 \[ o(a^k)=\frac{o(a)}{(k,o(a))} \] 先证明 \(o(a^k)\leq \dfrac{o(a)}{(k,o(a))}\) :
注意到 \[ \left(a^k\right)^{\frac{o(a)}{(k,o(a))}}=\left(a^{o(a)}\right)^{\frac{k}{(k,o(a))}}=e \] 根据定理1立得 \(o(a^k)\le \dfrac{o(a)}{(k,o(a))}\)
再证明 \(o(a^k)\geq \dfrac{o(a)}{(k,o(a))}\) :
注意到 \[ \left(a^k\right)^{o(a^k)}=a^{k\cdot o(a^k)}=e \] 根据定理1立得 \(o(a)\mid k\cdot o(a^k)\). 又因为 \(k\cdot o(a^k)\) 同时是 \(k\) 的倍数, 所以 \(k\cdot o(a^k)\) 是 \(o(a), k\) 的公倍数.
而 \(\dfrac{k\cdot o(a)}{(k, o(a))}\) 是 \(o(a), k\) 的最小公倍数, 因此 \(k\cdot o(a^k)\geq \dfrac{k\cdot o(a)}{(k, o(a))}\) , 化简即得证.
因此 \(o(a^k)=\dfrac{k}{(k, o(a))}\)
定理3
若 \(a,b\in G\) 可交换 (即 \(ab=ba\)) 且 \(o(a),o(b)\in \mathbb N\), 那么 \[ \dfrac{nm}{d^2}\mid o(ab) \\ o(ab)\mid\dfrac{nm}{d} \]
方便起见, 记 \(m=o(a), n=o(b), d=(m, n)\)
首先证明 \(o(ab)\mid \dfrac{mn}{d}\) : \[ \left(ab\right)^{\frac{mn}{d}}=\left(a^m\right)^{\frac{n}{d}}\left(b^n\right)^{\frac{m}{d}}=e \] 再证明 \(\dfrac{mn}{d^2}\mid o(ab)\). 方便起见可以分别证明 \(m\mid n\cdot o(ab)\), \(n\mid m\cdot o(ab)\). \[ \begin{aligned} \left(ab\right)^{n\cdot o(ab)}&=\left[\left(ab\right)^{o(ab)}\right]^{n}=e \\ \left(ab\right)^{n\cdot o(ab)}&=a^{n\cdot o(ab)}\left(b^n\right)^{o(ab)}=a^{n\cdot o(ab)}=e \end{aligned} \] 这说明 \(m\mid n\cdot o(ab)\), 即 \(\frac{m}{d}\mid \frac{n}{d}\cdot o(ab)\). 注意到 \(\frac{m}{d},\frac{n}{d}\) 互质, 因此 \(\frac{m}{d}\mid o(ab)\)
同理可得 \(\frac{n}{d}\mid o(ab)\), 又因为互质, 所以 \(\dfrac{nm}{d^2}\mid o(ab)\).
特殊地, 若 \((o(a),o(b))=1\), 则有 \(o(ab)=o(a)o(b)\)
这里一个反例是 \(o(a)=o(a^{-1})=n\), 但是 \(o(aa^{-1})=o(e)=1\neq lcm(o(a),o(a^{-1}))=n\)