Def
简单来说，我们称 \(R\subseteq D_1\times D_2\cdots\times D_n\) 这样一个 \(n\)-tuple 构成的集合 \(R\) 为为 \(n\)-relation over domain \(D_1\ldots D_n\)，简称为 \(n\)-relation。简单地说，一个 relation 包含了所有使这个关系成立的元素（组），因此在数据库的语境下“关系”与“集合”是等价的。
直观来看，一个关系实为一张巨大的 \(n\) 列表，每行为一个满足该关系的元素，每列代表了一个属性。
需要注意的是，在数据库的语境下，“集合”通常指“无序可重集合”，即两个元素的比较是 identity equality 而非 domain-induced equality。因此后面讲到的 primary key/super key 的重要性也就很直观了，因为这里（可能）需要统计重复出现的元素。
这两个视角没什么区别，感觉也没啥好说的。
一些边角要求
- 通常 domain 有一个特殊的占位值，即取 \(D_\bot=D\cup\{\bot\}\) 作为真正使用的
domain（群友最爱的
optional<T>） - 一般要求 \(D\)
中的元素是原子的，例如
int；非原子的例子有varchar、逻辑上的集合
这一切都看起来和命题演算那么熟悉，像啊，很像啊
Strict structure
关系这样非常固化的结构带来了一些后果：
- 处理起来非常简单
- 用起来也非常简单
- 不够灵活多变
Keys
数据库语境下的关系 \((R,\equiv)\) 实际上是二元组，分别由定义域和 tuple 上的等价关系组成
以网课签到为例，一个签到记录由三元组 (学号，名称，地点)
组成。
- 一个人可以在不同地方签到多次，但只应被记录一次
- 两个人只要学号和名称不同时相等，那么他们的签到就应当分开算
primary
这里 (学号，名称) 就是一组 primary key，它唯一确定了一个
tuple 的 identity
比我聪明的读者会发现这也说明
- 签到表本质上是一个函数，即
(学号，名称) -> 地点 - 以及 primary key constraint 本质上是 deterministic function constraint
- 接上条，数据的本质是一堆 primary key 间的映射
candidate
指极小的列集合 \(K\) 满足 \(\forall r_1,r_2\in R,\forall k\in K, r_1\text{.}k\ne r_2\text{.}k\rightarrow r_1\text{.}k\not\equiv r_2\text{.}k\)
说人话：只要 \(K\) 中的属性不全相同，就认为是不同的 tuple
此处 candidate 的意思是可以作为 primary key 的备胎
去掉极小限制后的 candidate 叫做 super key
foreign/referential
考虑 tuple \(t_1\in R_1,t_2\in R_2\)，如果 \(\text{$t_1$.$k_1$=$t_2$.$k_2$}\)，那么我们称 \(k_1,k_2\) 是 \(R_1,R_2\) 之间的 referential key。不失一般性地，如果 \(k_1\) 是 primary key，那么 \(k_2\) 就称为 \(R_2\) 到 \(R_1\) 的 foreign key
如果用 \(\sigma_k\) 表示投影到 key \(k\)，那么约束写出来就是 \(\sigma_{k_1}(R_1)\subseteq \sigma_{k_2}(R_2)\)，so easy
需要注意的是，某个 foreign key 可能也是 primary key，这二者并不矛盾
联谊
以大学生喜闻乐见的脱单为例，不妨假设有一个男女配对环节，表
B=(名字，身高)， G=(名字，院系) 和
N=(名字，twitter_id) 分别表示男女和非二元性别，并且名字都是
primary key
一张用来表示心动嘉宾的表
L=(名字，名字)就由两个 foreign key 组成，foreign key constraint 的意义在于每个人的心动嘉宾应当出席了活动一张用来表示心动身高的表
D=(名字，身高)就由 foreign key 和 referential key 组成，因为身高并非 primary key。referential key constraint 的意义在于活动中确实有人长这么高
不难发现 foreign key 是 referential key 的一个特例。直观上看，foreign key 更好实现（目标明确），referential key 适用范围更广（海王）
Relational algebra
非常的简单，书上介绍了这么几种：
- project：删去一些列
- select：filter by predicate
- product：就是你想的那个 product
- join：product + select 的语法糖
- rename/assign：term rewriting 的语法糖